Matemática - PROGRESSÕES

PROGRESSÕES – PARTE 1
Seqüências
Também chamada de sucessão, é o conjunto formado por elementos de um conjunto considerados numa certa ordem. Um elemento, ou termo, de uma seqüência é indicado por an onde n representa a posição ocupada pelo termo. A representação formal de uma seqüência é:
( a , a , a , ..., a ) com an o enésimo termo e n N*
De acordo com o número de elementos, podemos ter seqüências finitas ou infinitas como (2, 5, 7, 8, 9, 13) ou (4, 7, 9, -1, 12, ...)
Algumas seqüências podem ser expressas através de uma lei de formação. Isso significa que podemos obter um termo qualquer de uma seqüência a partir de uma expressão que relaciona o valor do termo com sua posição. Essa expressão é denominada termo geral da seqüência.
A seqüência dos números naturais (0, 2, 4, 6, 8, ...) pode ser obtida através da expressão an = 2n – 2, que determina o termo geral dessa seqüência onde n N*.

ATIVIDADES
Seja a seqüência definida por an = 3n + 2, escreva os quatro primeiros termos.
Escreva os termos da seqüência an = n + 2n
Quais são os primeiros termos pares da seqüência an = ( -1) . n ?
Obter o décimo segundo termo da seqüência em que an = 2
Determine o quarto termo da seqüência onde an = 2.5
Completar a seqüência (12, 7, 2, -3, ? , -13, ? ) de sete termos.

Progressão aritmética P.A.
É toda seqüência de números reais na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante denominada razão r.
( 1, 3, 5, 7, 9) é uma P.A. crescente finita ( a>0) de razão 2 a = 1, n = 5, r = 2
( 27, 23, 19, 15, ...) é uma P.A. decrescente infinita (a<0) infinita a = 27, r = -4
(2,2,2,2,2,2,2,2, ...) é uma P.A. constante (a=0) a = 2, r = 0

Termo geral de uma P.A. a = a + ( n - 1 ). r

7. Determine:
a) o décimo termo da P.A. ( 2, 5, 8 ...) b) o nono termo da P.A. (8, 4, 0, -4, -8...)
8. Quantos termos tem uma P.A. finita em que o último termo é 33, o primeiro é -3 e a razão é 4?
9. Determine o primeiro termo da P.A. em que a = 44 e a razão é 3.
10. Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1000?
11. Dê o termo geral da P.A. onde a = 3 e a razão -2.
12. O termo geral de uma P.A. finita é an = 2n – 1. O terceiro termo vale...
13. Dada a progressão (5, 8, 11...) determinar o 21º termo.
14. Calcular a razão de uma P.A. de 12 termos, cujos extremos são -28 e 60.
15. O termo geral da P.A. (3,15,...) é igual a :
16. Calcule o termos desconhecido da P.A. ( 10, x , 6 )
17. Determinar o valor de x para que a seqüência ( 8, x + 3, 20 ) nessa ordem, seja P.A.

Interpolação aritmética: interpolar, inserir ou intercalar meios aritméticos entre dois termos dados significa formar uma P.A. de n termos cujas extremidades da P.A. são dois termos dados. Deve-se calcular a razão pela fórmula do termo geral.
18. Quantos números devem ser interpolados entre 8 e -48 de modo que a razão seja igual a -4?
19. Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da P.A.?
20. Interpole:
a) quatro meios aritméticos entre 2 e 27. c) Oito meios aritméticos entre 5 e 95.
b) Seis meios aritméticos entre -8 e 13. d) Oito meios aritméticos entre -5 e 13.


Propriedades da P.A.
“Qualquer termo de uma P.A. é média aritmética entre o precedente e o conseqüente, excetuando-se os extremos.”
(5, 10, 15, 20, 25, 30, 35) 10 = ou 25 =
“Em uma P.A. de número ímpar de termos, o termo médio é a média aritmética entre os extremos.” TM = = 20
“A soma dos termos eqüidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos extremos.”
15 + 25 = 5 + 35 ou 10 + 30 = 5 + 35
Soma dos n termos de ma P.A. S =
ATIVIDADES
Numa P.A. com número ímpar de termos, se os extremos são -2 e 20, o termo médio vale:
Calcular o valor de x e a razão na P.A. ( x + 1, 3x - 2, 2x + 4 ).
Obter a soma dos vinte primeiros números pares positivos que constitui uma P.A.
Calcule a soma dos termos da P.A. ( 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)
Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.A. ( -4, -1, 2, 5, ...)
Calcular a soma dos múltiplos de 5, compreendidos entre 17 e 94.
A soma de uma P.A. de oito termos é 16 e a razão é -2. Então o sexto termo vale:
Assinale as corretas:
a) A soma de todos os números pares entre 1 e 51 é igual a 624.
b) Os números inteiros 1, 2, 3, 4, 5, nesta ordem, estão em P.A.
c) O milésimo termo da seqüência ( 1, 3, 5, 7,...) é 1999.
d) (Puc-PR) Se o termo geral da seqüência é an =1 - , então a =

Progressão geométrica P.G.
É toda seqüência de números não-nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu termo precedente por uma constante, denominada razão q.
( 2, 4, 8, 16, ...) P.G. crescente, razão 2 (-18, -6, -2, ...) crescente, razão 1 / 3
( -4, -8, -16, -32, ...) .G. decrescente, razão 2 ( 4, 2, 1, ½, ¼, 1/8, ...) decrescente, razão ½
( 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) P.G. estacionária, razão 1
( 5, -10, 20, -40, ...) P.G. oscilante ou alternante, razão -2
Termo geral de uma P.G. a = a . q

Dada a P.G. (2, -4, 8, -16, 32), calcular a , n, a e q:
Escreva a P.G. em que a = 3 e q = 5 e também a = -5 e q = 2.
Determine o sétimo termo da P.G. ( 1, 3, 9, ...)
Determinar o primeiro termo de uma P.G. sendo o sexto termo igual a 96 e a razão igual a 2.
Qual é a razão de uma P.G. em que a = 5 e o quarto termo vale 135?
Calcule o número de termos da P.G. (-1, -2, -4, ..., -512)
Calcular a razão de uma PG na qual 1º termo é ½ e o 4º termo é 4 / 27.
O número de termos da PG ( 1/9, 1/3, 1, ... , 729) é:
A PG ( 2, -6, 18, -54, ... ) é classificada como ...
Numa PG a = ½ e q = ½ . O primeiro termo dessa progressão é...
O décimo termo da progressão geométrica cujos três primeiros termos são -8, -4, -2, é:
O valor do 22º termo da PG que tem a = q = é:
O 3º termo de uma seqüência geométrica é 10 e o 6º termo é 80. Então a razão e o 1º termo são...
Determine o 1º termo da PG sendo a = 320 e q = 2.
Qual o 1º termo de uma PG em que a = 24 e a = 384?
A seqüência ( 1, ½, 1/3, ¼, ... ) é classificada como...